KirjastoSUUREEN MÄÄRITTELY INVARIANSSIN AVULLA

© Lavonen, Meisalo & al.

Hahmottava lähestymistapa

Kurki-Suonio, K & Kurki-Suonio, R (1994) ovat johtaneet fysiikan edistymisen ja käsitteenmuodostuksen pohjalta fysiikan opettamisen didaktisen periaatteen, jota kutsutaan hahmottavaksi lähestymistavaksi. Tämän lähestymistavan mukainen opetus oppitunnilla on käytännössä samanlaista kuin, mihin voidaan päätyä myöhemmin konstruktivistisen oppimisen tarkastelun pohjalta. Hahmottavaa lähestymistapaa voidaan verrata yleiseen hahmopsykologian käsittelytapaan, joka juontaa juurensa Kurt Lewinin teorioista. Hahmopsykologian koulukunta korosti havaintojen ja elämysten kokonaisvaltaisuutta toteamalla mm. että "kokonaisuus on enemmän kuin osiensa summa". Hahmopsykologialla on ollut vaikutusta mm. havaintojen, ajattelun, erityisesti oivalluksen ja muistin tutkimiseen.

Oppiminen ymmärretään hahmottavassa lähestymistavassa yksilön tiedon henkilökohtaiseksi luomiseksi ja rinnastetaan tieteellisen tiedon luomiseen. Lähestymistavan mukaan fysiikan käsitteet ovat hahmoja, jossa empiria ja teoria yhdistyvät yhdeksi, jatkuvasti kehittyväksi teoriaksi. Oppilasta ohjataan systemaattisesti havaintojen perusteella muokkaamaan ja prosessoimaan omia mielikuvia. Lähestymistapa kytkee alusta lähtien kaiken havaintoihin ja opettaa näkemään fysiikan käsitteet luonnon ilmiöiden esityksenä.

Hahmottava lähestymistapa (Kurki-Suonio K. & Kurki-Suonio R. 1994, 159).

Hahmottavan lähestymistavan mukaan oppiminen luonnontieteissä on luonteeltaan hahmotusprosessi, jossa edetään ilmiöistä ja havainnoista kohti teoriaa ja selitystä. Oppimista voidaan havainnollistaa Hahmottavan lähestymistavan kaaviolla, jossa on sama luonnollinen etenemissuunta kuin luonnontieteellisessä käsitteenmuodostuksessa: ilmiöistä kohti teoriaa. Yleisestä suunnasta huolimatta oppiminen ei ole lineaarinen prosessi, vaan se on monikertainen spiraalinen prosessi. Lakeja, periaatteita ja teorioita tarkennettaessa joudutaan aina välillä palaamaan ilmiöiden tasolle. Kaavion ympyrät, jossa on kaksi nuolta kuvaavat loogisten prosessien kaavion sykliä.

Oppimisen ja opettamisen eteneminen hahmottavan lähestymistavan mukaisesti

Opettajan tehtävänä on ohjata oppilaan hahmotusprosessissa oikeaan suuntaan. Opetuksen tulisi noudatella seuraavia periaatteita:

Tarkastellaan tarkemmin yllä esiteltyä kaaviota. Hahmottavassa lähestymistavassa kvalitatiivisen tiedon tasolla tehdään havaintoja, tunnistetaan, luokitellaan ja luonnehditaan perushahmoja eli olioita ja ilmiöitä sekä niiden ominaisuuksia. Kokeellisuus tällä tasolla on havaitsemista, tarkkailua sekä kvalitatiivisia kokeita esitiedon pohjalta. Tavoitteena on ilmiöalueen kielen luominen ja mielikuvien syntyminen tarkastelun alla olevasta ilmiöstä. Tätä vaihetta Kurki-Suonio K. ja Kurki-Suonio R. kutsuvat perushahmotukseksi. Kvalitatiivisella tasolla pyritään luomaan myös mielikuva vaikuttavien suureiden välisistä syy-seuraus-suhteista esikvantifioivin kokein. Nämä mielikuvat voidaan testata kvantitatiivin kokein kvantitatiivisen tiedon tasolla.

Kvantitatiivisella tiedon tasolla otetaan käyttöön ilmiötä kuvaavat käsitteet, periaatteet ja lait. Fysiikan opetuksessa tälle tasolle kuuluu mittaaminen ja mittaustietojen kvantitatiivinen esittäminen numeerisesti, graafisesti ja algebrallisesti. Tätä kutsutaan kvantifioinniksi.  Siirtyminen kvalitatiiviselta kvantitatiiviselle tasolle on ollut tieteessä ja on aina opetuksessa suuri harppaus. Jokaisen suureen oppiminen on askel konkreettisesta havaitsemisesta abstraktiin käsitteellisyyteen. Kvantifiointi vaatii sekä oppilaalta että opettajalta ponnisteluja. Tätä porrasta voidaan madaltaa osoittamalla uuden suureen riippuvuus aiemmin opituista suureista selkein mittauksin. Ennen mittauksia ilmiötä on usein pelkistettävä, jotta sitä voitaisiin tutkia laboratorio-olosuhteissa. Mittaukset rajataan siten, että kokeessa esiintyvät vain ne suureet, jotka ovat välttämättömiä uuden suureen määrittelylain todentamiselle. Lait ovat suureiden välisiä relaatioita, joita käytetään ilmiötä esittävinä malleina.  Lakien pätevyysalue saadaan selville, kun tehdään ennusteita ja testataan niitä kokeellisesti.Tällöin uusi suure kiinnittyy varmasti suureiden hierarkiassa oikealle paikalleen. Ei kuitenkaan riitä, että suure määritetään kvantitatiivisella mittauksella. Suureen merkityksen oppimisen kannalta on tärkeää käydä kaikki vaiheet läpi perushahmoituksesta kvantifiointiin.

Teorian taso on ilmiöiden ymmärtämisen ja selittämisen taso. Teorian määrittelevät systeemin yleinen perusmalli ja peruslait, jotka ovat mallin käyttäytymissäännöt. Teorian avulla voidaan tehdä systeemejä koskevia uusia ennusteita.

Mittausjärjestelmät kvantifioinnin tukena

Luonnontieteiden opetuksen kokeellisuudella tarkoitetaan tässä  nojautumista ympäristöstä kokeellisesti hankittuun tietoon. Havaintojen avulla otetaan käyttöön  luokittelevia ja jäsentäviä käsitteitä. Mittauksia, kokeita ja kokeellista tutkimusta käytetään lähtökohtana muodostettaessa ja otettaessa käyttöön suureita, lakeja ja teoreettisia malleja sekä tarkasteltaessa tiedon sovelluksia. Kokeellisuus voi olla omakohtaista toimintaa, laboratoriotyöskentelyä, demonstraatioita, opintokäyntejä, audio-visuaalisten välineiden tai kerronnan avulla tapahtuvaa toimintaa. Lähestymistapa ei välttämättä edellytä aina kokeellista toimintaa, sillä koulussa välineet, käytettävissä oleva aika tai tutkittava kohde asettavat toiminnalle rajoituksia. Esimerkiksi atomi- ja ydinfysiikkaa opetettaessa on tyydyttävä luottamaan aikaisemmin muitten suorittamien kokeiden todistusarvoon. Opetuksessa kokeellisuus siis toteutuu eri tavoilla kuin tieteessä. Oppilaita voidaan silti ohjata tulkitsemaan koetuloksia ja keskustelemaan sekä konstruoimaan tietoa. Tässä lähestymistavassa oppilaan aktiivisuudella on suuri merkitys tiedon konstruoimisessa.

Suureiden käyttöönottoa pidetään vaikeana. Suuretta määriteltäessä tai ilmiötä mallinnettaessa voidaan apuna käyttää mittausjärjestelmää. Mittausjärjestelmällä voidaan esittää mittaamalla saatu tieto graafisesti, jolloin mm. suureiden riippuvuudet tulevat havainnollisesti esille. Tällöin tutkittavassa ilmiössä vaikuttavien suureiden väliset riippuvuudet saadaan sellaiseen muotoon, että käsitteiden, periaatteiden ja lakien hahmottaminen on mahdollista. Oppilaiden kanssa voidaan keskustella, miten jokin suure, esimerkiksi lämpötila, muuttuu ilmiössä ajan funktiona. Jos ilmiössä muuttuva suure on verrannollinen ilmiöön vaikuttavaan suureeseen, suureiden välinen riippuvuus hahmottuu suoraan graafisesta esityksestä. Jos suureet eivät ole verrannollisia, niiden välinen riippuvuus voidaan palauttaa mittausohjelman avulla verrannollisuuden muotoon sopivalla koordinaatistomuunnoksella. Mittausohjelmilla voidaan tehdä esimerkiksi seuraavat koordinaatistomuunnokset:

Olennainen osa mittausohjelmien avulla tapahtuvaa mittaustulosten mallinnusta on suoran tai jonkin muun funktion sovittaminen mittaustuloksiin. Joissakin tilanteissa funktio on tarkoituksenmukaista sovittaa mittaustuloksiin ennen akseleille tehtävää koordinaatistomuunnosta ja joissakin tilanteissa vasta muunnoksen jälkeen. Fysiikan perusilmiöiden mallintamisessa mittausohjelmalla voidaan tehdä esimerkiksi seuraavia funktion sovittamisia:

Kehittyneen mittausjärjestelmän käytöllä voidaan ohittaa siten rutiinitehtäviä ja näin säästää aikaa itse ilmiöistä keskusteluun ja ilmiön monipuoliseen mallintamiseen. Vaarana mittausjärjestelmän opetuskäytössä on olioiden ja ilmiöiden liian nopea sivuuttaminen, jolloin oppilaille ei muodostu kuvaa, minkä olion ominaisuuksia tai minkä ilmiön voimakkuutta ollaan mittaamassa tai mitä ilmiötä ollaan mallintamassa. Toinen vaara mittausjärjestelmän käytössä on mallinnustyövälineen käyttö sellaisessa vaiheessa, kun oppilaat eivät vielä tunne kyseistä välinettä. Esimerkiksi suoran sovittamista ei kannata tehdä ennen kuin oppilaat osaavat itse sovittaa havaintopisteisiin suoran ja lukea kuviosta suoran kulmakertoimen. Järjestelmää on siten voitava käyttää asteittain.

Suureiden määrittely

Suureen määrittely invarianssin avulla perustuu muiden suureiden mittaamiseen ja mittaustuloksissa havaittavan vakioisuuden etsimiseen. Näin muodostuu suureiden ketjuja ja verkkoja, jotka kiinnittävät tietyn etenemissuunnan ja järjestyksen suureita käyttöön otettaessa (ks. käsitekartat). Suureiden välinen hierarkia kiinnittää fysiikan osa-alueiden kvantitatiivisen tutustumisjärjestyksen. Syventävä ja jatko-opintoihin tähtäävä fysiikan opiskelu on luontevaa aloittaa mekaniikalla, johon kaikki muut fysiikan osa-alueet pohjautuvat. Esimerkiksi aaltoliikkeen ymmärrettävä kvantitatiivinen käsittely edellyttää ajan, paikan, radan ja voiman käsitteiden ymmärtämistä. Toisaalta fysiikan osa-alueisiin ja fysiikan menetelmään voidaan tutustua esimerkiksi lukion kaikille yhteisellä fysiikan kurssilla valitsemalla tarkastelun kohde esimerkiksi oppilaiden mielenkiinnon tai koulussa saatavilla olevien välineiden perusteella.
 

Kuva 1. Suureiden verkko.
 

Suureen määrittelylain toteaminen käytännössä

  1. Tutkitaan ilmiötä sellaisessa yksinkertaisessa tilanteessa, jossa tarkasteltava ominaisuus esiintyy mahdollisimman selvänä ja pelkistettynä. Ilmiön fysikaalinen käsittely alkaa ilmiölle ominaisten suureiden ja ilmiöön vaikuttavien suureiden tunnistamisella.
  2. Todetaan kokeellisesti laki, jota ilmiötä kuvaavat tunnetut suureet noudattavat tutkittavassa tilanteessa (likimäärin), ja esitetään se invarianssin muodossa: suureiden invariantti yhdelmä (lauseke) = vakio. Suureen määrittelylaki on kokeellinen laki, joka ilmaisee täsmällisessä mittaamalla todettavassa muodossa suureen esittämän ominaisuuden. Suureen määrittelylaki on suureen säilymislaki, joka ilmaisee suureen riippumattomuuden joistakin ilmiöön vaikuttavista tekijöistä. Käytännössä oppitunnilla mitataan ilmiössä muuttuvan suureen riippuvuutta ilmiöön vaikuttavasta suureesta. Mittaustulokset esitetään graafisesti. Sopivassa koordinaatistossa suureiden välinen riippuvuus on lineaarista. Kulmakertoimelle annetaan fysikaalinen tulkinta. Invarianssi (vakioisuus tai kulmakerroin) merkitsee jotakin tiettyä, selvästi todettavissa olevaa riippumattomuutta joistakin parametrisuureista, olosuhteista tai systeemistä.
  3. Invarianssin määrittelemä vakio on luonnollista ottaa käyttöön uutena, ilmiölle ominaisena suureena. Laista tulee suureen määrittelylaki, joka antaa suureelle määrittelylausekkeen tunnettujen suureiden johdannaissuureena. Laki ilmaistaan yksinkertaisessa muodossa: suure = vakio.
  4. Määrittelylaki on yksinkertainen algebrallinen malli, joka esittää ilmiötä lain pätevyysalueella.Suureen käyttöalue laajennetaan koskemaan myös muita tilanteita. Suure irtautuu määrittelylaistaan ja ilmiön yleisempi kuvaaminen suureen avulla tulee mahdolliseksi. Suure kytketään osaksi isompaa teoriaa. Neljänteen vaiheeseen liittyy myös ajatus suureiden määrittelyn avoimuudesta, jolloin suureiden käytön yhteydessä on aina muistettava määritelmän pätevyysalue.

Esimerkki: Ohmin lain todentaminen mittausjärjestelmää apuna käyttäen

Tarkastellaan esimerkkinä edellä kuvatusta lähestymistavasta Ohmin lain opettamista ja oppimista. Ennen kuin Ohmin laki voidaan määritellä oppilailla tulisi olla mielikuvat sähkövirran vaikutuksista sekä siitä, miten sähkövirtaa voidaan synnyttää. Lisäksi oppilaille käsitteet 'avoin ja suljettu virtapiiri' sekä suure jännite tulisi olla jo tuttuja. Oppilaan tulee myös hallita virran ja jännitteen mittaaminen, ja tuntea mittaamiseen liittyvät periaatteet.
 

Sähkövirran kulun edellytyksenä on, että piiri on suljettu. Tavallisen pariston ja hehkulampun muodostamassa  piirissä sähkövirran vaikutukset ovat havaittavissa valona ja hehkulampun lämpeämisenä. Virtapiirissä pariston kemiallista energiaa muuntuu valoksi ja lämmöksi. Paristo on siis virranlähde. 

Kuva 2. Sähkövirran vaikutukset ja sähkövirran synnyttäminen

Rakentamalla erilaisia suljettuja virtapiirejä paristoista ja lampuista voidaan tutkia sähkövirran ominaisuuksia. Kytketään ensin samanlaisia lamppuja eri tavoin yhteen paristoon ja vertaillaan lamppujen kirkkauksia. Lamppujen kirkkaudet kertovat piirissä kulkevasta sähkövirrasta.

Jatketaan kokeita kytkemällä paristoja eri tavoin yhteen ja katsomalla tämän paristosysteemin aiheuttamaa lampun tai lamppujen hehkumista. Havaitaan, että paristot vahvistavat toisiaan, kun ne kytketään sarjaan. Ne kumoavat toistensa vaikutuksen, kun ne kytketään vastakkain. Rinnan kytkeminen ei vaikuta paristojen voimakkuuteen.

Kuva 3. Sähkövirran ominaisuudet

Kytkentöjen avulla havaitaan myös, että lamppu hehkuu sitä voimakkaammin, mitä enemmän paristoja kytketään sarjaan. Lamppujen kirkkauteen vaikuttaa myös paristoon kytketyt lamput. Lamput hehkuvat himmeämmin, kun niitä on kytketty sarjaan. Kokeet synnyttävät siis mielikuvan, jonka mukaan jännite ja johdin (lamppu) vaikuttavat sähkövirtaan. Jännite on syy ja sähkövirta sen seuraus. 
Kuva 4. Sähkövirran suuruuteen vaikuttavat tekijät

Edellä tehdyt havainnot ja johtopäätökset voidaan täsmentää käyttämällä virta- ja jännitemittareita. Mittareiden avulla havaitaan mm., että virtapiirin haaroissa kulkevien sähkövirtojen suuruuksien summa on yhtä suuri kuin sähkövirran suuruus ennen haarautumaa. Jännitemittarin avulla puolestaan havaitaan, että sarjaan kytkettyjen paristojen lähdejännite on yhtä suuri kuin paristojen lähdejännitteiden summa. Myös jännitehäviön käsite voidaan ottaa käyttöön. Ohmin lain fysikaalinen käsittely alkaa siis jännitehäviöön vaikuttavien tekijöiden kvalitatiivisella tunnistamisella perushahmottavina ja esikvantifioivin kokein tai/ja opetuskeskustelulla. Näin luodaan aiemmin opitun ja uuden opetettavan asian välille yhteys.

Ensimmäisissä kvantifioivissa mittauksissa on oleellista, että johtimen lämpötila, pituus ja paksuus pidetään aluksi vakioina. Kokeen perusteella saadaan laki, jonka mukaan metallijohtimen päiden välinen jännite on verrannollinen virtaan. Koetta jatketaan määrittämällä jännitteen ja virran välinen riippuvuus eripituisille tai eripaksuisille johtimille. Tuloksiksi saadaan suoria, joilla on erilainen jyrkkyys. Mitä jyrkempi suora on sitä pienemmän sähkövirran tietty jännite aiheuttaa. Kuvajan kulmakerroin on siis johtimelle ominainen vakio, joka ilmaisee johtimen kyvyn vastustaa sähkövirran kulkua. Se on johtimen resistanssi. Suureen määrittely invarianssin avulla korostaa suureen kokeellista luonnetta ja etenee seuraavasti esim. mittausjärjestelmää apuna käyttäen:
 
Suureiden välinen lineaarinen riippuvuus kohdataan esimerkiksi resistanssin määrittelyssä Ohmin lain avulla. Määrittely nojautuu tasavirtapiirissä mitattuihin metallijohtimen päiden väliseen jännitteeseen ja vastuksen läpi kulkevaan virtaan. Kun mittaustulokset esitetään graafisesti, havaitaan jännitteen ja virran olevan verrannollisia (U ~ I). Jännitteen riippuvuus virrasta voidaan esittää matemaattisesti suoran yhtälön avulla, U = RI. Suoran kulmakerroin, R, on virrasta riippumaton johdinta kuvaava vakio (Ohmin laki). Se kuvaa, miten vastuksen päiden välinen jännite riippuu vastuksen läpi kulkevasta virrasta. Havaittu vakio nimetään vastuksen resistanssiksi.
Kuvaaja 1. Johtimessa tapahtuvan jännitehäviön riippuvuus sähkövirrasta
Kun tutkimus tehdään mittausjärjestelmällä, ilmiöstä kerätty tieto voidaan esittää suoraan IU-koordinaatistossa. Resistanssin merkitys johdinta kuvaavana suureena hahmottuu paremmin, kun samassa koordinaatistossa esitetään lyhyellä ja pitkällä johtimella tehdyt mittaukset. Havaitaan esimerkiksi, että 1,0 V:n jännite aiheuttaa virtapiiriin, jossa on pitkä johdin, 10 mA:n virran ja virtapiiriin, jossa on lyhyt johdin, 20 mA:n virran. Tämän perusteella voidaan päätellä, että pitkä johdin vastustaa lyhyttä johdinta enemmän virran kulkua. Näin kulmakerroin kytketään kuvaamaan johtimen virranvastustamiskykyä eli johtimen resistanssia.
Kuvaaja 2. Johtimen pituuden vaikutus
Lain merkitys ja käyttö laajenee, kun tutkitaan vielä pariston napajännitteen riippuvuutta pariston läpi kulkevasta virrasta. Ilmiötä demonstroidaan rakentamalla suljettu virtapiiri paristosta ja säätövastuksesta. Kun pariston napajännitettä mitataan virtapiirissä kulkevan virran funktiona ja mittaustulokset esitetään graafisesti, havaitaan jännitteen muutosten (DU) ja virran muutosten (DI) olevan verrannollisia (DU ~ DI). Jännitteen ja virran välillä on lineaarinen riippuvuus. Pariston napajännitteen riippuvuus virrasta voidaan esittää matemaattisesti: Un = -RsI + E. Suoran kulmakerroin, Rs, on virrasta riippumaton paristoa kuvaava vakio.
Kuvaaja 3. Pariston sisäinen resistanssi
Oleellista on myös keskustella siitä, mikä merkitys johtimen kyvyllä vastustaa virran kulkua on arkielämässä. Esimerkiksi voidaan miettiä, mitä ongelmia kyseisestä johtimen ominaisuudesta seuraa esimerkiksi sähkönsiirron kannalta. Lisäksi on hyvä ottaa useita esimerkkejä esille kyseisen ominaisuuden eduista ja haitoista. 

 

Kirjallisuutta