KirjastoVUOROVAIKUTUS

© Lavonen, Meisalo, Juuti & al.

Liikemäärän säilymislaki

Tutkimalla heilurin heilumista, kävelijän kävelemistä tai kappaleen putoamista, saadaan selville niiden liikkeiden lait. Ne ilmaisevat, miten nämä kappaleet liikkuvat. Liikkeiden lait eivät kuitenkaan kerro mitään liikkeiden syistä. Sen selvittämiseksi on tutkittava vuorovaikutuksia, jotka määräävät kappaleiden liiketilan muuttumisen.

Kappaleen liiketilan muuttuminen riippuu sekä siihen kohdistuvasta vuorovaikutuksesta että kappaleesta itsestään. Mitä voimakkaammin kappaletta työnnetään, sitä enemmän sen liiketila muuttuu. Mitä suurempi kappale on, sitä vaikeampaa sen liiketilan muuttaminen on.

Newtonin mekaniikka perustuu kolmeen mielikuvaan. Kappaleen liiketila ei muutu, jos se ei koe  vuorovaikutusta (Newtonin I peruslaki). Kappaleen liiketilan muutoksen syy on vuorovaikutus (Newtonin II peruslaki). Vuorovaikutuksen kokee molemmat osapuolet (Newtonin III peruslaki)

Hitauksien vertaaminen

RealPlayer video. Vaunun vaakasuuntaiset vuorovaikutuset on pyritty kumoamaan

Kahden kappaleen vuorovaikutus muuttaa kummankin liiketilaa. Kun kaksi samanlaista kappaletta törmää toisiinsa, kummankin nopeus muuttuu yhtä paljon. Suuren ja pienen kappaleen törmätessä pienen nopeus muuttuu enemmän. Kun kappaleet ovat hyvin erikokoisia, vain pienen kappaleen nopeus muuttuu havaittavasti. Esimerkiksi kappaleen pudotessa Maa ei liiku. Kappaleen kykyä vastustaa liiketilan muutosta sanotaan kappaleen hitaudeksi. Massa on suure, joka ilmaisee kappaleen hitauden.

Tarkastellaan vuorovaikutuksen aiheuttamia nopeuksien muutoksia. Pyritään minimoimaan kaikki vaakasuunnan vuorovaikutukset. Asetetaan kahden samanlaisen herkkäliikkeisen vaunun väliin puristuva jousi, ja lisätään toiseen vaunuun punnuksia. Sijoitetaan vaunut siten, että kevyempi vaunu on lähempänä valoporttia (käyttämällä ilmatyynyrataa saadaan tarkempia tuloksia). Jousen välittämä vuorovaikutus työntää vaunut liikkeelle, kun otteet vaunuista irrotetaan. Jos puristuvaa jousta ei ole saatavilla, voidaan käyttää myös kuminauhaa. Kuminauhan välittämällä voimalla ei ole merkitystä, riittää että todetaan vuorovaikutuksen vaikuttavan molempiin yhtä paljon. Tämän voi todeta asettamalla samanlaiset vaunut ilmatyynyradan keskelle ja toteamalla, että ne saavuttavat ilmatyynyradan päädyt yhtä aikaa.  

Keltaiset mittauspisteet kuvaavat ylläolevaa tilannetta, vaunujen massa on 200g nopeuksien suhde 1,0. Vihreät mittauspisteet: vaunujen massojen suhde on 2/3 nopeuksien suhde 0,7 ja punaiset mittauspisteet: vaunujen massojen suhde 1/2 nopeuksien suhde 0,5. Havaitaan, että myös nopeudet suhtautuvat toisiinsa samassa suhteessa.

Kevyempi vaunu (nopeus1) saa aina suuremman nopeuden kuin raskaampi vaunu, vaikka molemmat kokevat saman vuorovaikutuksen. Kevyemmän hitaus on pienempi.

Kun koe toistetaan monta kertaa varioimalla jousen (kuminauhan) kireyttä ja nopeudet mitataan, todetaan, että vaunujen saamien nopeuksien suhde on aina sama. Nopeuksien vertaaminen on samalla vaunujen hitauksien vertaamista. Jos kevyt vaunu saa kaksi kertaa niin suuren nopeuden kuin painava, painavan hitaus on kaksinkertainen. Raskaamman vaunun hitaus tulee näin mitatuksi kevyemmän vaunun hitaudella.

Tässä kokeessa on tärkeää korostaa, että muut liikkeen suuntaiset vuorovaikutukset oletetaan hyvin pieniksi. Mittaamalla ultraäänianturilla kappaleitten paikkoja ajan funktiona ilmatyynyradalla voidaan todeta nopeuksien pysyvän vakiona vuorovaikutuksen jälkeen.

Hitauksia voi verrata myös törmäyttämällä vaunuja. Mitataan ultraäänianturien avulla kahden vaunun paikat ajan funktiona ja tutkitaan niiden nopeuksien muutoksia. Tällöin voidaan varioida vuorovaikutuksen voimakkuutta helposti siten, että annetaan vaunuille erisuuruisia alkunopeuksia. Mitä kovempi vauhti törmäävillä kappaleilla on, sitä suurempi on vaunujen kokema vuorovaikutus.

Vuorovaikutuksen voimakkuus Impulssi

Edellisessä kokeessa havaittiin, että massa voidaan määritellä täysin tasaisen liikkeen nopeuden avulla. Jatkavuuden lain mukaan kappale jatkaa liikettään ellei mikään vuorovaikutus muuta sen liiketilaa. Koska esimerkiksi törmäyksessä kappaleiden liiketilojen muutoksilla on yhteinen syy, vuorovaikutus, on kappaleiden liiketilojen muututtava yhtä paljon. Törmäyskokeessa havaittiin, että vuorovaikuttavien kappaleiden nopeuden muutokset ovat kääntäen verrannolliset kappaleiden massoihin

eli mBDvB = mADvA

Vaatimus liiketilojen yhtäsuuresta muuttumisesta toteutuu, jos liikketilan mittana käytetään suuretta liikemäärä, p, joka on kappaleen massan ja nopeuden tulo, p = mv.

Kappaleeseen vaikuttava voima muuttaa kappaleen liikemäärää ja on yhtä suuri kuin liikemäärän muuttumisnopeus. Kahden kappaleen välinen vuorovaikutus aiheuttaa kappaleisiin yhtä suuret vastakkaissuuntaiset voimat. Näitä voimia sanotaan toistensa vastavoimiksi.

Tutkitaan törmäyksiä ilmatyynyradalla. Yksinkertaisuuden vuoksi annetaan toisen vaunun (vasemman puoleinen, vaunu B) olla levossa ennen törmäystä. Törmäysten luonnetta voidaan vaihdella käyttämällä erilaisia puskureita, esimerkiksi kumilankaa tai sinitarraa. Kun vaunuissa on piikkipuskurit, ne tarketuvat törmäyksessä toisiinsa ja niillä on sama loppunopeus. Törmäyksen voimakkuutta voidaan muuttaa antamalla erilaisia alkunopeuksia. Vaunujen massoja voidaan vaihdella asettamalla vaunujen päälle lisäpunnuksia. Kytketään valoportit ja mitataan vaunujen  nopeudet ennen ja jälkeen törmäyksen.

 
Mittaukset a), b) ja c)

Mittaus d)

Mittaus e)

Kimmottomassa törmäyksessä ensimmäinen mittauspiste on vaunun A nopeus toinen mittauspiste on vaunun B nopeus, kun vaunut ovat takertuneet toisiinsa ja kolmas mittauspiste on vaunun A nopeus. joka on siis likipitäen sama kuin vaunun B nopeus. (Ilmatyynyrata oli mittauksen aikana noin 0,1° kallellaan vasempaan.)

Kun törmäyskohtiin asennetaan piikkipuskurit (massa 10g), vaunut takertuvat toisiinsa törmäyksessä ja niiden loppunopeudet ovat yhtä suuret. Nopeuksien ja liikemäärien muutoksiksi saadaan esimerkiksi

DvA = 0,2234625m/s - 0,4570192m/s = -0,2335567  ja DvB = 0,2234625m/s
DpA = -0,05kgm/s ja DpB = 0,05kgm/s.
Nopeus mitataan valoporteilla. Kun vaunu A tönäistään liikkeelle, se törmää levossa olevaan vaunuun B.
Systeemin kokonaisliikemäärä alussa oli 0,22kg*0,4570192m/s = 0,100544224kgm/s ja törmäyksen jälkeen 0,44kg*0,2234625m/s = 0,0983235kgm/s


Mittaus a)-d)

Mittaus g)

Kimmoisassa törmäyksessä ensimmäinen mittauspiste on vaunun A nopeus toinen mittauspiste on vaunun B nopeus. Kolmas mittauspiste on vaunun A nopeus, joka on nyt negatiiviseen suuntaan. (Ilmatyynyrata oli mittauksen aikana noin 0,1° kallellaan vasempaan.)

Kun vaunuissa on kumilankapuskurit, vaunut liikkuvat törmäyksen jälkeen vastakkaisiin suuntiin. (Jos vaunuilla on sama massa, niin vaunu A pysähtyy.)
Tuloksista lasketaan vaunujen nopeuksien ja liikemäärien muutokset.

DvA = 0m/s - 0,5052212m/s  ja DvB =  0,52083850m/s - 0 m/s
DpA =0,22kg*(-0,50522121m/s) = -0,11kgm/s ja
DpB = 0,22kg*0,5208385m/s = 0,11kgm/s.
tai
DvA = -0,0963888m/s - 0,38105552m/s  ja DvB =  0,2628091m/s - 0 m/s
DpA =0,22kg*(-0,47744432m/s) = -0,1050377504kgm/s ja
DpB = 0,42kg*0,262809m/s = 0,11037978kgm/s.

Havaitaan, että törmäävien kappaleiden A ja B liikemäärien itseisarvot muuttuvat törmäyksen luonteesta riippumatta yhtä paljon. Poikkeamat ovat mittaustarkkuuden rajoissa. Tulos merkitsee, että kappaleiden liikemäärien summa pysyy muuttumattomana:

DpA + DpB = 0
(pA2 - pA1) + (pB2 - pB1) = 0
pA2 + pB2 = pA1+ pB1

Tämä on liikemäärän säilymislaki, jonka mukaan kahden kappaleen A ja B vuorovaikutus ei muuta niiden muodostaman systeemin kokonaisliikemäärää pA + pB= vakio. Tällä tuloksella on keskeinen merkitys mekaniikassa. Se merkitsee yleisesti, että systeemin sisäiset vuorovaikutukset eivät voi vaikuttaa sen etenemisliikkeen liiketilaan.

Liikemäärän muutos ilmaisee siis kappaleeseen kohdistuvan vuorovaikutuksen voimakkuuden. Näin saatua  vuorovaikutuksen voimakkuuden mittaa sanotaan impulssiksi mDv=I

Dynamiikan peruslaki, voima

Kappaleen paino 

Galilein putoamislain mukaan kaikki kappaleet putoavat samalla kiihtyvyydellä g = Dv/Dt = 9,81 m/s2. Maan ja kappaleen välinen gravitaatiovuorovaikutus muuttaa siis kappaleen nopeutta ja liikemäärää yhtä pitkinä aikaväleinä Dt aina yhtä paljon Dv = gDt ja Dp = mDv = mgDt. Kappaleen liikemäärä muuttuu tasaisesti. Kappaleeseen vaikuttaa siis tasainen vuorovaikutus. Impulssin hetkellinen arvo I/Dt=mDv/Dt=F on voima, eli vuorovaikutuksen voimakkuuden hetkellinen arvo.  Liikemäärän muuttuminen ilmaisee kappaleeseen kohdistuvan vuorovaikutuksen voimakkuuden. Galilein painovoimalain mukaan Maan ja kappaleen välinen gravitaatiovuorovaikutus vaikuttaa kappaleeseen voimalla G = mg, missä m on kappaleen (hidas) massa. Tätä voimaa sanotaan kappaleen painoksi. Kun kappaleen paino on voima, voidaan tähän perustuen rakentaa voima-anturi.  Kappaleen paino voidaan siten määrittää myös punnitsemalla voima-anturilla. Voima-anturilla punnittaessa verrataan kappaleen aiheuttamaa anturissa olevan venymäliuskan (jousen) venymää yksikkökappaleen aiheuttamaan venymään.

Impulssiperiaate

Tuntuu erilaiselta pudota kovalle asfaltille tai pehmeälle nurmelle, taikka lyödä pesäpallomailalla kovaa pesäpalloa tai pehmeää tennispalloa. Voiman vaikutus tuntuu erilaiselta riippuen siitä, kauanko voiman vaikutus kestää. Kovalle asfaltille pudotessa törmäys kestää muutaman sekunnin tuhannesosan, kun taas pehmeä alusta antaa periksi ja törmäys kestää pitempään.

Haulipussin törmäys voima-anturiin 

Pudotetaan 400 g:n haulipussi 50 cm korkeudelta ja mitataan sen voima-anturiin kohdistama voima ajan funktiona.

Impulssi on suure, joka kuvaa vuorovaikutuksen voimakkuutta. Haulipussin koko liikemäärä häviää vuorovaikutuksessa voima-anturin kanssa. Voiman antama impulssi I on yhtä suuri kuin sen aiheuttama liikemäärän muutos, I = Dp = mv2 - mv1, missä m, v1 ja v2 ovat kappaleen massa, alkunopeus ja loppunopeus. Voima kuvaa vuorovaikutuksen hetkellistä voimakkuutta. Voima-anturin avulla voidaan saada voiman kuvaaja ajan funktiona. Jos voima ei ole vakio, voidaan voiman impulssia aikavälillä t1 ... t2 esittää kuvaajan F = F(t) alle jäävä fysikaalinen pinta-ala. [tässä esimerkissä kuvaaja puuttuu teknisistä syistä]

Haulipussin voima-anturiin kohdistama impulssi määritetään graafisella integroinnilla: I = 1,12 Ns.

Voiman ja vastavoiman lain perusteella haulipussi saa yhtä suuren vastakkaissuuntaisen impulssin. Impulssiperiaatteen mukaan haulipussin liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin tämä impulssi Dp = I eli mv2 - mv1 = I, josta ratkaistaan loppunopeus

v2 = (1,12 N)/(0,4 kg) + 0 = 2,8 m/s.

Energiaperiaatteen perusteella pussin nopeus, kun se pudotetaan 50 cm korkeudelta, on mgh = ½mv2 eli v =  = 3.1 m/s. Ero eri tavoin määritetyissä nopeuksissa aiheutuu mm. ilmanvastuksesta ja mittaamisesta aiheutuvista virheistä ja kappaleen muodonmuutokseen käytetystä energiasta. 

Vaunun törmäys voima-anturiin video 11,8 MB

Tutkitaan vaunun törmäystä voima-anturiin. Kiinnitetään vaunuun kimmoisa puskuri, esimerkiksi kumilankapuskuri Mitataan vaunun nopeus ennen ja jälkeen törmäyksen sekä määritetään voima-anturin vaunuun kohdistama impulssi.

Asetetaan ultraäänianturi statiiviin ja kalteva taso siten, että vaunu on aluksi noin 50 cm:n päässä anturista. Voima-anturi kiinnitetään tukevasti siten, että se ei liiku törmäyksen vaikutuksesta.

Mittausajaksi valitaan esimerkiksi 30 s. Ennen mittausta taarataan voima-anturi. Mittaus aloitetaan samalla hetkellä kuin vaunu lähtee liikkeelle. 

Impulssiperiaatteen perusteella vaunu saa yhtä suuren impulssin kuin on sen liikemäärän muutos Dp=I . Verrataan näitä keskenään. Impulssi määritetään graafisella integroinnilla I = xxxx Ns. Liikemäärän muutos on mv2 - mv1 = xxxxxx m/s = xxxx Ns.

Ero aiheutuu mittaustarkkuudesta ja siitä, että vaunuun vaikuttaa koko ajan myös muita voimia kuin voima-anturin kosketusvoima. 

Videossa ja alla olevassa mittauksessa on käytty vaunussa puristuvaa jousta. Kuminauhapuskuria voidaan käyttää, mutta voima-anturi on silloin voima-anturin asennon on oltava tarkasti kohdallaan.

Kuminauha ensin antaa vaunulle impulssin, joka pysäyttää vaunun. Sitten kuminauha antaa vaunulle impulssin, jonka ansiosta se alkaa nousta pitkin ilmatyynyrataa.

Dynamiikan peruslain demonstroiminen

Aina, kun kappaleen liike on tasaisesti kiihtyvää, siihen kohdistuu tasainen vuorovaikutus, jonka voimakkuuden ilmaisee voima F = ma.

Dynamiikan peruslain eli Newtonin II lain mukaan kappaleeseen vaikuttava voima F antaa kappaleelle kiihtyvyyden a siten, että F = ma, missä m on kappaleen massa. Tutkitaan ilmatyynyradalla liikettä, jonka aiheuttaa punnuksen paino Gp = mpg. Punnuksen paino kiihdyttää sekä vaunua että punnusta. Sen tähden on odotettavissa, että ne liikkuvat tasaisella kiihtyvyydellä a, joka noudattaa dynamiikan peruslakia

Gp = (m + mp)a, missä m on vaunun massa.

Tutkitaan, kuinka hyvin tämä ennuste pätee. Mitataan vaunun saamaa kiihtyvyyttä valoportin avulla ja muutetaan vaunun massaa sen päälle asetettavilla lisäpunnuksilla.

Mittausohjelmalle ilmoitetaan vaunun ja punnuksen massa Mittaus toistetaan erimassaisilla vaunuilla muutaman kerran. Havaitaan, että vaunun massan kasvaessa sen kiihtyvyys pienenee, vaikka kiihtyvyyden aiheuttama punnus pysyy samana. Kun pistejoukkoon sovitetaan potenssifunktio, havaitaan, että kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen massaan.

Verrannollisuuden tutkiminen tulee havainnollisemmaksi, kun kiihtyvyys esitetään massan käänteisluvun funktiona a = a(1/m). Havaitaan, että suoran a = k(1/m) kulmakerroin k = 0,6N on likimain kiihtyvyyden aiheuttavan punnuksen paino. 

 

'

Kappaleen liikeyhtälö

Kun dynamiikan peruslain avulla ennustetaan kappaleen kiihtyvyyttä, sanotaan, että lakia käytetään kappaleen liikeyhtälönä. Oppitunnilla voidaan menetellä siten, että dynamiikan peruslain avulla ennustetaan ensin kappaleen kiihtyvyys tai hidastuvuus ja sitten kokeellisesti testataan ennusteen paikkansapitävyys.

Esimerkki 1
Kuinka vaunun nopeus ja kiihtyvyys muuttuvat ilmatyynyradalla? Tarkista tulos kokeellisesti.
Kuinka suuri on ilmatyynyradalla olevan kappaleen kiihtyvyys? Kuinka suuri on kiihdyttävä voima? Tarkista tulos kokeellisesti.

Esimerkki 2
Kuinka vaunun nopeus ja kiihtyvyys muuttuvat kaltevalla tasolla? Tarkista tulos kokeellisesti.
Kuinka suuri on kaltevalla tasolla olevan vaunun kiihtyvyys? Ratkaise kiihtyvyys graafisesti ja algebrallisesti. Kuinka suuri on kiihdyttävä voima? Tarkista tulos kokeellisesti. Kuinka suuri on mäkeä ylöspäin tönäistyn vaunun hidastuvuus?

Esimerkki 3
Mittaa tasaisella alustalla kulkevan vaunun kiihtyvyys (hidastuvuus)? Kuinka suuri on kiihdyttävä (hidastava) voima?

Esimerkki 4
Miten punnuksen massa vaikuttaa vaunun saamaan kiihtyvyyteen? Voiko kiihtyvyys kasvaa kuinka suureksi tahansa?
Edellisen esimerkin vastaus saadaan tutkimalla punnuksen massan vaikutusta systeemin saamaan kiihtyvyyteen. Ehdoton yläraja on luonnollisesti putoamiskiihtyvyys.
Mielenikiintoinen ongelma on, voidaanko oppilaslaboratoriossa saada putoamiskiihtyvyyttä suurempia kiihtyvyyksiä.

 


Putoamiskiihtyvyyttä suurempia kiihtyvyyksiä voidaan saada väkipyörällä kuvan mukaisesti.

Hetkellinen kiihtyvyys ja voima

Kun kappaleen liike ei ole tasaisesti kiihtyvää sen nopeuden kuvaaja v = v(t) on käyrä. Hetkellinen kiihtyvyys a(t) määritetään nopeuden kuvaajasta v = v(t) vastaavalla tavalla kuin määritettiin hetkellinen nopeus radan kuvaajasta.

Muuttuva voima saadaan esimerkiksi kuvan mukaisella koejärjestelyllä.

Mittaus onnistuu paremmin, jos käytetään ultraäänianturia, ja väkipyörä sijoitetaan korkeammalle, näin kulma on jyrkempi ja kiihdytysmatka pidempi.